Question

已知两定点M（-1，0），N（1，0）若直线上存在点P，使得|PO|²=|PM|•|PN|（O为坐标原点），则该直线为“A型直线”．给出
下列直线，其中是“A型直线”的是（　　）
①y=x+1   
②x=

1

2

③y=-x+3
④y=-2x+3．

A．①④

B．①③

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：设P（x，y），根据|PO|²=|PM|•|PN|和两点的距离公式算出x²-y²=1，从而得到点P的轨迹是焦点在x轴上的等轴双曲线．由此，再判断①②③④中的直线与双曲线x²-y²=1是否有交点，即可得到“A型直线”的条数，得到本题的答案．

解答：解：设P（x，y），可得|PO|²=x²+y²，
|PM|=

(x+1)2+y2

，|PN|=

(x-1)2+y2

∵|PO|²=|PM|•|PN|，
∴x²+y²=

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

，
化简整理，得x²-y²=1
∴点P的轨迹是x²-y²=1，是焦点在x轴上的等轴双曲线
对于①，因为直线y=x+1与双曲线x²-y²=1的渐近线y=x平行，
所以直线y=x+1与双曲线x²-y²=1必定有一个交点，
即存在点P，使得y=x+1是“A型直线”；
对于②，因为直线x=

1

2

过双曲线虚轴上一点与轴虚垂直，所以直线x=

1

2

与双曲线x²-y²=1没有交点
故不存在点P，使得x=

1

2

是“A型直线”；
对于③，因为直线y=-x+3与双曲线x²-y²=1的渐近线y=-x平行，所以直线y=-x+3与双曲线x²-y²=1必定有一个交点，
即存在点P，使得y=-x+3是“A型直线”；
对于④，因为直线y=-2x+3经过x轴上点（

3

2

，0），该点在双曲线x²-y²=1的张口以内
所以直线y=-2x+3与双曲线x²-y²=1必定有一个交点，即存在点P，使得y=-x+3是“A型直线”
综上所述，满足是“A型直线”的有①③④，共3个
故选：D

点评：本题给出满足条件的动点的轨迹，叫我们寻找“A型直线”的条数．着重考查了动点轨迹的求法、双曲线的几何性质和直线与双曲线位置关系等知识，属于中档题．