Question

曲线x²+y²-ay=0与ax²+bxy+x=0有且只有3个不同的公共点，那么（ ）
A．（a⁴+4ab+4）（ab+1）=0
B．（a⁴-4ab-4）（ab+1）=0
C．（a⁴+4ab+4）（ab-1）=0
D．（a⁴-4ab-4）（ab-1）=0

Answer 1

【答案】分析：由ax²+bxy+x=0可得ax+by+1=0，或x=0，根据x=0与曲线x²+y²-ay=0有2个公共点，则ax+by+1=0与曲线x²+y²-ay=0有且只有1个不同的公共点，利用圆心到直线的距离，可求得结论．
解答：解：由题意，由ax²+bxy+x=0可得ax+by+1=0，或x=0，
∵x=0与曲线x²+y²-ay=0有2个公共点
∴ax+by+1=0与曲线x²+y²-ay=0有且只有1个不同的公共点（不是（0，0）），
∵x²+y²-ay=0的圆心坐标为（0，），半径为
∴圆心到ax+by+1=0的距离为
∵ax+by+1=0与曲线x²+y²-ay=0有且只有1个不同的公共点
∴
∴（a⁴-4ab-4）（ab+1）=0
故选B．
点评：本题考查两曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．