Question

过抛物线的准线上任意一点作抛物线的两条切线，，若切点分别为M、N，则直线MN过定点（ ）
A．（-1，0）
B．（0，-1）
C．（1，0）
D．（0，1）

Answer 1

【答案】分析：设M（x₁，），N（x₂，），Q（x，-1），由k_MQ=，知-2x₁x+4y=0．由此能推导出直线MN过点（0，1）．
解答：解：设M（），N（x₂，），Q（x0，-1），
∵y=x²，
∴y′=x，
∴切线MQ的斜率为：k_MQ=，
∴MQ的方程为y-=（x-x₁），
∴-2x₁x+4y=0．（8分）
∵MQ过Q（x，-1），
∴-2x₁x-4=0，
同理-2x₂x-4=0，
∴x₁，x₂为方程x²-2xx-4=0的两个根，
∴x₁x₂=-4．（10分）
又k_MN==，
∴MN的方程为y-=（x-x₁），
∴y=x+1，
所以直线MN过点（0，1）．（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，分析得到x₁，x₂为方程x²-2xx-4=0的两个根是关键，解题时要注意合理地进行等价转化，属于难题．