Question

（2012•广元三模）过抛物线y=

1

4

x

2

的准线上任意一点作抛物线的两条切线，，若切点分别为M、N，则直线MN过定点（　　）

A．（-1，0）

B．（0，-1）

C．（1，0）

D．（0，1）

Answer 1

分析：设M（x₁，

x12

4

），N（x₂，

x22

4

），Q（x₀，-1），由k_MQ=

x1

2

，知x12-2x₁x+4y=0．由此能推导出直线MN过点（0，1）．

解答：解：设M（x1，

x 2 1

4

），N（x₂，

x22

4

），Q（x0，-1），
∵y=

1

4

x²，
∴y′=

1

2

x，
∴切线MQ的斜率为：k_MQ=

x1

2

，
∴MQ的方程为y-

x12

4

=

x1

2

（x-x₁），
∴x12-2x₁x+4y=0．（8分）
∵MQ过Q（x₀，-1），
∴x12-2x₁x₀-4=0，
同理x22-2x₂x₀-4=0，
∴x₁，x₂为方程x²-2xx₀-4=0的两个根，
∴x₁x₂=-4．（10分）
又k_MN=

x22 4 -  x12 4

x2-x1

=

x1+x2

4

，
∴MN的方程为y-

x12

4

=

x1+x2

4

（x-x₁），
∴y=

x1+x2

4

x+1，
所以直线MN过点（0，1）．（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，分析得到x₁，x₂为方程x²-2xx₀-4=0的两个根是关键，解题时要注意合理地进行等价转化，属于难题．