Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．
（Ⅰ）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（Ⅱ）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小；
（Ⅲ）求点D到平面SBC的距离．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面SBC的法向量，平面SAD的法向量，然后利用空间向量数量积公式求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（Ⅱ）设棱SA的中点为M，直接求出异面直线DM与SB对应的向量，利用空间向量数量积求解异面直线DM与SB所成角的大小；
（Ⅲ）通过平面的法向量，利用在上的射影公式，直接求点D到平面SBC的距离．
解答：（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，
又在Rt△SDB中，．      …（1分）
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系（如图），
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1）．          …（2分）
设平面SBC的法向量为，则，，
∵，，
∴，∴可取．            …（4分）
∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量．     …（5分）
∴，
∴面ASD与面BSC所成二面角的大小为45°．             …（6分）
（Ⅱ）∵，∴，，
又∵，∴DM⊥SB，
∴异面直线DM与SB所成角的大小为90°．             …（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量为，∵，
∴在上的射影为，
∴点D到平面SBC的距离为．                    …（12分）
（特别说明：用传统解法每问应同步给分）
点评：本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的求法，异面直线所成角的求法，点到平面的距离公式的应用，考查空间想象能力与计算能力．