Question

10．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=$\sqrt{2}$，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则M的坐标为（0，1，1）．

Answer 1

分析 设出空间直角坐标系，推出相关点的坐标，设出M坐标，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，
∴DA，DC，DS两两垂直，
如图以D为原点，直线DA，DC，DS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），B（$\sqrt{2}$，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0），$\overrightarrow{BA}$=（0，-2，0）.$\overrightarrow{CS}$=（0，-2，2）.$\overrightarrow{BA}=（0，-2，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-\sqrt{2}，0，0）$
设$\overrightarrow{CM}$=$λ\overrightarrow{CS}$=（0，-2λ，2λ）.$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CM}$=（-$\sqrt{2}$，-2λ，2λ）．
∠ABM=60°．可得：cos60°=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{|BA}\left|\right|\overrightarrow{BM|}}$=$\frac{|4λ|}{2•\sqrt{2+（-2{λ）}^{2}+4{λ}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
解得λ=$\frac{1}{2}$.$\overrightarrow{CM}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{DM}$=（0，1，1）
M（0，1，1）．
故答案为：（0，1，1）．

点评 本题考查空间向量数量积的应用，空间点的坐标的求法，考查计算能力．