题目内容
将正整数2012表示成n个正整数x1，x2，x3，…xn之和．记s=
xi•xj．
（I）当n=2时，x1，x2取何值时s有最大值．
（II）当n=5时，x1，x2，x3，x4，x5分别取何值时，s取得最大值，并说明理由．
（III）设对任意的1≤i＜j≤5且|xi-xj|≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取得最小值，并说明理由．
 | 1≤i＜j≤n |
（I）当n=2时，x1，x2取何值时s有最大值．
（II）当n=5时，x1，x2，x3，x4，x5分别取何值时，s取得最大值，并说明理由．
（III）设对任意的1≤i＜j≤5且|xi-xj|≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取得最小值，并说明理由．
分析：（ I）根据 x1+x2=2012，利用均值不等式，求得当x1=x2=1006时，S有最大值10062．
（ II）当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值．理由：x1+x2+x3+x4+x5=2012，利用基本不等式可得当这5个数相等时，S取得最大值．
再由这5个数都是正整数，可得S取得最大值时，必有|xi-xj|≤1（ 1≤i＜j≤5），从而得到结论．
（ III）由x1+x2+x3+x4+x5=2012且|xi-xj|≤2，存在三种情况．分析可得，只有①x1=401，x2=402，x3=x4=x5=403；或 ③x1=x2=x3=x4=402，
x5=404时，S取得最小值．
（ II）当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值．理由：x1+x2+x3+x4+x5=2012，利用基本不等式可得当这5个数相等时，S取得最大值．
再由这5个数都是正整数，可得S取得最大值时，必有|xi-xj|≤1（ 1≤i＜j≤5），从而得到结论．
（ III）由x1+x2+x3+x4+x5=2012且|xi-xj|≤2，存在三种情况．分析可得，只有①x1=401，x2=402，x3=x4=x5=403；或 ③x1=x2=x3=x4=402，
x5=404时，S取得最小值．
解答：解：（ I）根据 x1+x2=2012，利用均值不等式，可得当x1=x2=1006时，S有最大值10062．--------（2分）
（ II）当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值．------（4分）
由x1+x2+x3+x4+x5=2012，利用基本不等式可得当这5个数相等时，S取得最大值．再由这5个数都是正整数，
可得S取得最大值时，必有|xi-xj|≤1（ 1≤i＜j≤5）．-----（8分）
因此当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值．
（ III）由x1+x2+x3+x4+x5=2012且|xi-xj|≤2，只有①x1=401，x2=402，x3=x4=x5=403；
②x1=x2=x3=402，x4=x5=403； ③x1=x2=x3=x4=402，x5=404；三种情况．--------（11分）
而在②时，根据（2）知原式取得最大值；
在①时，设t=402，s=
xi•xj=10t2+8t，
在③时，设t=402，s=
xi•xj=10t2+8t．
因此在①③时S取得最小值．--------（13分）
（ II）当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值．------（4分）
由x1+x2+x3+x4+x5=2012，利用基本不等式可得当这5个数相等时，S取得最大值．再由这5个数都是正整数，
可得S取得最大值时，必有|xi-xj|≤1（ 1≤i＜j≤5）．-----（8分）
因此当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值．
（ III）由x1+x2+x3+x4+x5=2012且|xi-xj|≤2，只有①x1=401，x2=402，x3=x4=x5=403；
②x1=x2=x3=402，x4=x5=403； ③x1=x2=x3=x4=402，x5=404；三种情况．--------（11分）
而在②时，根据（2）知原式取得最大值；
在①时，设t=402，s=
|
| 1≤i＜j≤5 |
在③时，设t=402，s=
|
| 1≤i＜j≤5 |
因此在①③时S取得最小值．--------（13分）
点评：本题主要考查绝对值不等式、基本不等式的应用，求函数的最值，属于中档题．
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