Question

（9分）无论为任何实数，直线与双曲线：且恒有公共点

（Ⅰ）求双曲线的离心率的取值范围；

（Ⅱ）若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于、两点，并且求双曲线的方程.

Answer 1

（9分）

解：（Ⅰ）联立  得  （*）

当时，方程，当时方程组无解，即直线与C无交点，与、C恒有交点矛盾.

当时，方程（*）中对实数恒成立，即

 即对实数恒成立，

∵∴对恒成立，，又，

∴∴∴　　　　　　　　　　　　（４分）

（Ⅱ）设，由得

∴

由方程（*）得

将代人上面两个方程，得

∵直线过双曲线C的右焦点F，∴∴

∴∴双曲线C的方程为 　　　　　　　　（９分）