Question

已知函数f（x）=x³-3x．
（1）求函数f（x）在[-3，

3

2

]上的最大值和最小值；
（2）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导数，然后判断在要求区间内导数的正负情况，从而可得出最大值与最小值．
（2）根据导函数的定义可求出切线的斜率，然后根据点P的坐标可求出切线的方程．

解答：解：（1）f′（x）=3（x+1）（x-1），
当x∈[-3，-1）或x∈（1，

3

2

]时，f′（x）＞0，
∴[-3，-1]，[1，

3

2

]为函数f（x）的单调增区间，
当x∈（-1，1）为函数f（x）的单调减区间，
又∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（

3

2

）=-

9

8

，
所以当x=-3时，f（x）_min=-18，
当x=-1时，f（x）_max=2．
（2）由于点P不在曲线上，故设切点为（x₀，y₀）则切线方程为：y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀）①，
又点P（2，-6）在此切线上，以及y₀=x₀³-3x₀代入①解得x₀=0
故此直线的斜率为-3
故可求得切线的方程为y=-3x．

点评：本题考查了利用导函数求区间上的最值问题，难度不大，关键是掌握导函数的定义．