Question

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-

3

y=4相切．
（1）求圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P满足PA，PO，PB成等比数列，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）求出圆心到直线的距离就是圆的半径，然后直接写出所求圆的方程即可．
（2）先求出AB的坐标，设出点P（x，y），由点P满足PA，PO，PB成等比数列，建立方程，化简求得结果．

解答：解：（1）∵以O为圆心的圆与直线x-

3

y=4相切，故圆的半径为

|0-0-4|

1+3

=2，故圆的方程为 x²+y²=4．
（2）∵圆O与x轴相交于A（-2，0），B（2，0）两点，设点P（x，y），由点P满足PA，PO，PB成等比数列，
可得 PO²=PA•PB，∴x²+y²=

(x+2)2+ y2

•

(x-2)2+ y2

．
化简可得 x²-y²=2．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程的求法，等比数列的性质应用，考查计算能力，属于中档题．