Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x-y+1=0．
（1）若x=

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时，函数f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（2）若函数h(x)=f(x)-

a

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x2+2(a-a2)x，求h（x）的单调递增区间（其中a∈R）．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义，可得2a+b=0，利用x=

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时，函数f（x）有极值，及切点的坐标，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）先确定h(x)=x3+

a

2

x2-2a2x+a+3，再求导函数，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间．

解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b．
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．  ①
当x=

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时，y=f（x）有极值，则f′（

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3

）=0，可得4a+3b+4=0．  ②
由①、②解得a=2，b=-4．
由于l上的切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4，∴1+a+b+c=4，∴c=5．
∴f（x）=x³+2x²-4x+5．   …（6分）
（2）由（1）得

2a+b=0 1+a+b+c=4

，∴

b=-2a c=a+3

，
∴h(x)=x3+

a

2

x2-2a2x+a+3．
则h′（x）=3x²+ax-2a²=（x+a）（3x-2a）．
①当a=0时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，令h′（x）＞0，解得x＜-a或x＞

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3

a，∴h（x）的单调递增区间是（-∞，-a）和(

2

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a，+∞)；
③当a＜0时，令h′（x）＞0，解得x＜

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a或x＞-a，∴h（x）的单调递增区间是(-∞，

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a)和（-a，+∞）． …（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的极值，考查函数的单调性，确定函数解析式，正确求导是关键．