Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
(1)证明：BD⊥AA₁；
(2)证明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁；
(3)在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1)证明：连接BD，
∵平面ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
则BD⊥平面AA₁C₁C，
又A₁A平面AA₁C₁C，
故BD⊥AA₁。
(2)证明：由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的性质知AB₁∥DC₁，A₁D∥B₁C，
AB₁∩B₁C=B₁，A₁D∩DC₁=D，
由面面平行的判定定理推论知：平面AB₁C∥平面DA₁C₁。
(3)解：存在这样的点P满足题意。
∵A₁B₁ABDC，
∴四边形A₁B₁CD为平行四边形，
∴A₁D∥B₁C，
在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP，
∵B₁BCC₁，
∴BB₁CP，
∴四边形BB₁CP为平行四边形，
∴BP∥B₁C，∴BP∥A₁D，
∴BP∥平面DA₁C₁。