Question

方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能是圆；
②若曲线C为椭圆，则1＜t＜4；
③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜

5

2

．
其中正确命题序号是

 

．

Answer 1

分析：根据圆的定义得出当4-t=t-1时，即t=

5

2

时，表示圆；当（4-t）（t-1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示双曲线；当满足

4-t＞0  t-1＞0 4-t＞t-1

时，即1＜t＜

5

2

时方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦点在x轴上的椭圆；当满足

4-t＞0   t-1＞0 4-t＜t-1

时，即

5

2

＜t＜4时方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦点在y轴上的椭圆，从而得出结论．

解答：解：由圆的定义可知：当4-t=t-1时，即t=

5

2

时方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示圆，故①错误；
由双曲线的定义可知：当（4-t）（t-1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示双曲线，故③正确；
由椭圆定义可知：（1）当椭圆在x轴上时，当满足

4-t＞0  t-1＞0 4-t＞t-1

时，即1＜t＜

5

2

时方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦点在x轴上的椭圆，故④正确．
（2））当椭圆在y轴上时，当满足

4-t＞0   t-1＞0 4-t＜t-1

时，即

5

2

＜t＜4时方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦点在y轴上的椭圆，故②错误．
故答案为：③④．

点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程，尤其要注意椭圆在x轴和y轴上两种情况，属于基础题．