Question

已知三棱锥A-BCD的棱长均为a，E为AD的中点，连接CE．
（1）请作出AO⊥面BCD于O，则O是△BCD的外心吗？
（2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值．
（3）求CE与底面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要说明O为△BCD为外心，只需说明OB=OC=OD，而AO⊥平面BCD，也就只要这么AB=AC=AD即可，作AO⊥平面BCD，垂足为O，O三角形BCD的中心，连接DO作EO₁⊥OD交OD于O₁点，连接CO₁，即可得到结论；
（2）作AF⊥CD交CD于F，连接OF，根据二面角的平面角的定义可知∠AFO为二面角A-CD-B的平面角，在Rt△AOF中求出此角的余弦值即可；
（3）根据线面垂直的判定定理可知EO₁⊥平面BCD，从而∠ECO₁是CE与平面BCD所成的角，在Rt△EO₁C中，求出此角的正弦值即可．

解答：解：（1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，O三角形BCD的中心．
连接DO作EO₁⊥OD交OD于O₁点，连接CO₁
∵AB=AC=AD=a，AO⊥平面BCD∴O为△BCD为外心
（2）作AF⊥CD交CD于F，连接OF．
∵AO⊥平面BCD∴AO⊥CD
又∵AF⊥CD∴CD⊥平面AFO
∴CD⊥OF∴∠AFO为二面角A-CD-B的平面角．
在Rt△AOF中AF=

3

2

a，AO=

6

3

a
∴cos∠AFO=

1

3

．
（3）∴OD=

2

3

×

3

2

a=

3

3

a∴在Rt△AOD中，AO=

a2-( 3 3 a)2

=

6

3

a
∵AE=DE，EO₁∥AO∴EO₁=

1

2

AO=

6

6

a
∵AO⊥平面BCD，EO₁∥AO∴EO₁⊥平面BCD
∴∠ECO₁是CE与平面BCD所成的角
在Rt△EO₁C中，sin∠ECO₁=

EO1

CE

=

6 6 a

3 2 a

=

2

3

点评：本题主要考查了二面角的度量，以及线面所成角，同时考查了空间想象能力，推理能力和计算能力，属于中档题．