题目内容
已知数列{
}的前n项和为
，且满足a1=1，
=t
+1 （n∈N+，t∈R）．
（1）求数列{
}的通项公式；
（2）求数列{n
}的前n项和为Tn．
}的前n项和为
，且满足a1=1，
=t
+1 （n∈N+，t∈R）．（1）求数列{
}的通项公式；（2）求数列{n
}的前n项和为Tn．解：（1）∵
=t
+1，
∴当n=1时，S1=ta2=a1=1，
∴t≠0，
又
+1=
+1﹣
，
∴
=t（
+1﹣
），
∴
+1=
，
∴当t=﹣1时，
+1=0，S1=a1=0，
当t≠﹣1时，数列{
}是等比数列，
=
，
综上
=
．
（2）∵Tn=a1+2a2+3a3+…+n
①
∴T1=1，n≥2时又由①可知
+1=
，a2=
，
∴
a1+2a3+3a4+…+n
+1 ②
①﹣②得
2a2+a3+a4+…+
﹣n
+1
=
（a1+a2+a3+…+
）﹣n
+1
=﹣1+
﹣n（
+1﹣
）
=﹣1+
﹣
．
Tn=t﹣t
+n
=
．
=t
+1，∴当n=1时，S1=ta2=a1=1，
∴t≠0，
又
+1=
+1﹣
，∴
=t（
+1﹣
），∴
+1=
，∴当t=﹣1时，
+1=0，S1=a1=0，当t≠﹣1时，数列{
}是等比数列，
=
，综上
=
．（2）∵Tn=a1+2a2+3a3+…+n
①∴T1=1，n≥2时又由①可知
+1=
，a2=
，∴
a1+2a3+3a4+…+n
+1 ②①﹣②得
2a2+a3+a4+…+
﹣n
+1=
（a1+a2+a3+…+
）﹣n
+1=﹣1+
﹣n（
+1﹣
）=﹣1+
﹣
．Tn=t﹣t
+n
=
．
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