Question

已知定义在R上的奇函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f(

1

2

)=0，△ABC的内角A满足f（cosA）≤0，求角A的取值范围

Answer 1

分析：由定义在R上的奇函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，由奇函数在对称区间上的单调性相同，则函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，又由f(

1

2

)=0，我们根据奇函数的性质，可得f(-

1

2

)=0，f（0）=0，然后对A的取值进行分类讨论即可得到结论．

解答：解：（1）当0＜A＜

π

2

时，cosA＞0，
f(cosA)≤0=f(

1

2

)，
f（x）在（0，+∞）上为递增函数，
得cosA≤

1

2

，
∴

π

4

≤A＜

π

2

；
（2）当

π

2

＜A＜π时，cosA＜0，
f(cosA)≤0=f(-

1

2

)，
f（x）在（-∞，0）上也为递增函数，
得cosA≤-

1

2

，
∴

2π

3

≤A＜π；
又A=

π

2

时，cosA=0，
f（0）≤0也成立（f（0）=0），
综上所述，角A的取值范围是[

π

3

，

π

2

]∪[

2π

3

，π)．

点评：本题考查的知识是函数的单调性和函数的奇偶性，这两个函数综合应用时，要注意：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反．