Question

已知集合P={x|

1

2

≤x≤2}，y=log₂（ax²-2x+2）的定义域为Q．
（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；
（2）若方程log2(ax2-2x+2)=2在[

1

2

，2]内有解，求实数a的取值的取值范围．

Answer 1

分析：（1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，
（2）也是一个存在性的问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性．

解答：解：（1）由已知Q={x|ax²-2x+2＞0}，若P∩Q≠∅，
则说明在[

1

2

，2]内至少有一个x值，使不等式ax²-2x+2＞0，即，
在[

1

2

，2]内至少有一个x值，使a＞

2

x

-

2

x2

成立，令u=

2

x

-

2

x2

，则只需a＞umin．又u=-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

，当x∈[

1

2

，2]时，

1

x

∈[

1

2

，2]，从而u∈[-4，

1

2

]
∴a的取值范围是a＞-4；
（2）∵方程log2(ax2-2x+2)=2在[

1

2

，2]内有解，
∴ax2-2x+2=4即ax2-2x-2=0在[

1

2

，2]内有解，分离a与x，得a=

2

x

+

2

x2

=2(

1

x

+

1

2

)2-

1

2

，在[

1

2

，2]上有x的值，使上式恒成立
∵

3

2

≤2(

1

x

+

1

2

)2-

1

2

≤12∴

3

2

≤a≤12，即a的取值范围是[

3

2

，12]．

点评：考查存在性问题求参数范围，本题中两个小题都是存在性，因为其转化的最终形式不一样，所以求其参数方式不一样，一是其最值，一是求值域．答题者应细心体会其不同．此类题一般难度较大，要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化．