Question

已知α∈（0，

π

2

），且sin

α

2

+cos

α

2

=

6

2

，若cos（α-β）=

1

3

，β∈（

π

2

π），则cosβ=

3 -2 2

6

．

Answer 1

分析：题干中β的范围写错了，请给修改，谢谢
把所给的等式平方求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα、sin（α-β）的值，再根据 cosβ=cos[α-（α-β）]利用两角差的余弦公式运算求得结果．

解答：解：已知α∈（0，

π

2

），且sin

α

2

+cos

α

2

=

6

2

，平方可得 1+sinα=

3

2

，∴sinα=

1

2

，∴cosα=

3

2

．
若cos（α-β）=

1

3

，β∈（

π

2

 ，π），则-π＜α-β＜0，∴sin（α-β）=-

2 2

3

．
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

3

2

×

1

3

+

1

2

×(-

2 2

3

)=

3 -2 2

6

，
故答案为

3-2 2

6

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．