Question

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得
BD⊥平面POA；
（2）建立空间直角坐标系O-xyz，设PO=x，求出时，，此时，进一步求点Q的坐标，求出平面PBD的法向量，利用向量的夹角公式，可证直线OQ与平面E所成的角大于．
解答：（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．
设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，．
又设PO=x，则，，所以O（0，0，0），P（0，0，x），，
故，
所以，
当时，．此时，…（6分）
设点Q的坐标为（a，0，c），由（1）知，，则，，，．
∴，，
∵，∴．            
∴，∴．   （10分）
设平面PBD的法向量为，则．
∵，，∴
取x=1，解得：y=0，z=1，所以．…（8分）
设直线OQ与平面E所成的角θ，
∴=．…（10分）
又∵λ＞0∴．∵，∴．
因此直线OQ与平面E所成的角大于，即结论成立．…（12分）
点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．