题目内容

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，b_n≠0
（1）求证数列{ $数学公式$ }是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n= $数学公式$ ，T_n为数列{c_n}的前n项和，求证：T_n＜2．

（1）证明：∵b_n=a_n-1，b_n≠0
∴a_n=b_n+1
又2a_n=1+a_na_n+1，
∴2（1+b_n）=1+（b_n+1）（b_n+1+1）
化简得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1…（2分）
∵b_n≠0
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 是以1为首项，1为公差的等差数列．…（4分）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C_n= $\text{[math]}$ ．
∴T_n= $\text{[math]}$ ①，
$\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ ②…（9分）
①-②得： $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（11分）
∴T_n=2- $\text{[math]}$ ＜2（12分）
分析：（1）由题意可得a_n=b_n+1，结合2a_n=1+a_na_n+1，代入化简得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1，从而可得 $\text{[math]}$ ，可证 $\text{[math]}$ 是以1为首项，1为公差的等差数列，由等差数列的通项可求 $\text{[math]}$ ，进而可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C_n= $\text{[math]}$ ，利用错位相减可求数列的和
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点，要注意掌握