Question

函数y=f（x）是定义在区间(-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞)上的奇函数，当x≥

1

2

时，f（x）=2x-x²．
（1）求x≤-

1

2

时，f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=

f(x)-1

x

，求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）当x≤-

1

2

时，-x≥

1

2

，进而根据x≥

1

2

时，f（x）=2x-x²，求出f（-x）的解析式，进而根据函数y=f（x）是定义在区间(-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞)上的奇函数，即可得到答案．
（2）由（1）中结论，我们可以分当x≥

1

2

时和当x≤-

1

2

时两种情况，分别讨论函数g（x）=

f(x)-1

x

的值域，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：（1）∵当x≤-

1

2

时，-x≥

1

2

则f（-x）=2（-）x-（-x）²=-2x-x²=-f（x）
∴x≤-

1

2

时，f（x）=2x+x²
（2）当x≥

1

2

时，g（x）=

f(x)-1

x

=2-(x+

1

x

)≤2-2=0，当且仅当x=1时取等号
当x≤-

1

2

时，g（x）=

f(x)-1

x

=2+x-

1

x

≤

7

2

所以，该函数的值域为(-∞，

7

2

]

点评：本题考查的知识点是函数解析式及其求法，函数的值域，奇函数的性质，其中（1）的关键是根据奇函数的性质，先求出x≤-

1

2

时，f（-x）的解析式，再求f（x）的解析式；而（2）的关键是根据分段函数分段处理的原则，进行分类讨论．