Question

在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C₁交于A，B两点，若，求直线l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由C₂：y²=4x知F₂（1，0）．
设M（x₁，y₁），M在C₂上，因为，
所以，得，．
M在C₁上，且椭圆C1的半焦距c=1，
于是
消去b²并整理得9a⁴﹣37a²+4=0，解得a=2（不合题意，舍去）．
故椭圆C₁的方程为．
（Ⅱ）由知四边形MF₁NF₂是平行四边形，其中心为坐标原点O，
因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，故l的斜率．
设l的方程为．
由消去y并化简得9x²﹣16mx+8m²﹣4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
，．
因为，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6（x₁﹣m）（x₂﹣m）=7x₁x₂﹣6m（x₁+x₂）+6m²
                   ==．
所以．此时△=（16m）²﹣4×9（8m²﹣4）＞0，
故直线l的方程为，或．