Question

随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注．已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量T_n大致满足关系式：T_n=228a（1.01²ⁿ-1）（n≤24，n∈N^*）．
（1）求Q型车前n个月的销售总量S_n的表达式；
（2）比较两款车前n个月的销售总量S_n与T_n的大小关系；
（3）试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由．
（参考数据：

5

4.5828

≈1.09，

lg1.09

lg1.01

≈8.66）

Answer 1

分析：（1）Q型车每月的销售量{a_n}是等比数列，且a₁=a，q=1+1%；其前n项和S_n可求；
（2）作差比较，即S_n-T_n易得S_n＜T_n；
（3）若记Q、R两款车第n个月的销量分别为a_n和b_n，则a_n=a×1.01^n-1．
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1可得出，验证b₁满足条件，且20%×b₁＜a₁；若a_n＜20%×b_n成立，则结合题目中的所给数据，可得从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%．

解答：解：（1）Q型车每月的销售量{a_n}是以首项a₁=a，公比q=1+1%=1.01的等比数列；
前n个月的销售总量S_n=

a(1.01n-1)

1.01-1

=100a（1.01ⁿ-1）（n∈N^*，且n≤24）．
（2）∵S_n-T_n=100a（1.01ⁿ-1）-228a（1.01²ⁿ-1）=100a（1.01ⁿ-1）-228a（1.01ⁿ-1）（1.01ⁿ+1）=-228a（1.01ⁿ-1）•（1.01ⁿ+

32

57

）．
又1.01ⁿ-1＞0，1.01ⁿ+

32

57

＞0，∴S_n＜T_n．
（3）记Q、R两款车第n个月的销量分别为a_n和b_n，
则a_n=a×1.01^n-1．
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=228a（1.01²ⁿ-1）-228a（1.01^2n-2-1）=228a×（1.01²-1）×1.01^2n-2=4.5828a1.01^2n-2．
b₁=4.5828a（或228×0.0201a），显然20%×b₁＜a₁．
当n≥2时，若a_n＜20%×b_n，
即a×1.01^n-1＜

1

5

×4.5828a×1.01^2n-2，
1.01^2（n-1）＞

5

4.5828

×1.01^n-1，1.01^n-1＞

5

4.5828

≈1.09，n-1＞

lg1.09

lg1.01

≈8.66．
∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，前n项和公式的应用；以及作差法比较大小，不等式的证明等，并且计算量大，容易出错，是较难的题目．