题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，底面
为菱形，
，
，点
为
的中点.
（1）证明：
；
（2）若点
为线段
的中点，平面
平面，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得
，由等腰三角形的性质可得
，由线面垂直的判定定理可得
平面
，从而可得结论；（2）由（1）知
，结合面面垂直的性质可得，
平面
，以
为坐标原点，分别以
，
，
所在直线为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量取平面的一个法向量
，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
详解：（1）连接
，
因为
，
，所以
为正三角形，又点为
的中点，所以.
又因为
，为的中点，所以.
又
，所以平面，又
平面，所以
.
（2）由（1）知.又平面
平面，交线为，所以平面，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，
可得
得
，
由（1）知平面，则取平面的一个法向量，
，故二面角
的余弦值为.
练习册系列答案
相关题目
