Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c=10，∠C=2∠A，cosA=

3

4

．
（1）求

c

a

的值；
（2）求b的值；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）通过cosA=

3

4

，求出sinA，求出sinC，利用正弦定理求出

c

a

的值；
（2）通过a+c=10，与（1）直接求出，c，a的值，借助余弦定理直接求b的值；
（3）利用三角形的面积公式直接求解△ABC的面积．

解答：解：因为在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c=10，∠C=2∠A，

(1)cosA= 3 4 ∴sinA= 7 4 sinC=sin2A=2sinAcosA=2× 7 4 × 3 4 = 3 7 8 c a = sinC sinA = 3 7 8 × 4 7 = 3 2 (2) a+c=10 c a = 3 2 ⇒ c=6 a=4 cosA= b2+c2-a2 2bc = b2+3b-16 12b = 3 4  ∴b2+20=9b   ∴b=4(舍)或b=5 (3)S△ABC= 1 2 •b•c•sinA= 1 2 b×c× 7 4 = 15 7 4

点评：本题考查解三角形的知识，正弦定理与余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查计算能力．