Question

（2009•临沂一模）一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（　　）

• A．1-

  3 π

  12

• B．1-

  3 π

  24

• C．

  3 π

  12

• D．

  3 π

  24

Answer 1

分析：根据题意，记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件

.

A

为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，先求得边长为4的等边三角形的面积，再计算事件

.

A

构成的区域面积，由几何概型可得P（

.

A

），进而由对立事件的概率性质，可得答案．

解答：解：记“蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1”为事件A，则其对立事件

.

A

为“蚂蚁与三角形的三个顶点的距离不超过1”，
边长为4的等边三角形的面积为S=

3

4

×4²=4

3

，
则事件

.

A

构成的区域面积为S（

.

A

）=3×

π

3

×

1

2π

×π×1²=

π

2

，
由几何概型的概率公式得P（

.

A

）=

π 2

4 3

=

3 π

24

；
P（A）=1-P（

.

A

）=1-

3 π

24

；
故选B．

点评：本题考查几何概型，涉及对立事件的概率性质；解题时如需要计算不规则图形的面积，可用间接法．