Question

已知数列中，
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求实数的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）.
（Ⅲ）的最小值是.

试题分析：（Ⅰ），①
，②
①-②：，，        2分
即（），又=2，
时，数列是以2为首项，3为公比的等比数列.
，故           4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，，
当时，；
当时,,①
,②
①-②得，
= 
=
，又也满足
               9分
（Ⅲ），由（Ⅰ）可知：
当时，，令，
则，
又，∴
∴当时，单增，∴的最小值是
而时，，综上所述，的最小值是
∴，即的最小值是         13分
点评：难题，为确定等差数列、等比数列的通项公式，往往通过建立相关元素的方程组，而达到目的。数列的求和问题，往往涉及“公式法”“分组求和法”“裂项相消法”“错位相减法”等。涉及不等式恒成立问题，通过放缩、求和等，得到最值。