Question

【题目】已知函数，

（1）若的图像过点，且在点P处的切线方程为，试求函数的单调区间；

（2）当时，若函数恒成立，求整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为。（2）1

【解析】

（1）由图象过点，得，根据导数的几何意义得，列出关于的方程，解出，通过导数与0的关系可得单调区间；（2）原题等价于在区间内恒成立，设，对其二次求导可得有极大值，也为最大值，根据，即可得结果.

（1）.函数过点可知，，，

∴，，，联立可得，

所以，函数的定义域为，

可知，，，，可知函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为

（2）由可知

因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．

设

可设，在单调递增，且，

所以存在唯一的，使得

且当时， ， 单调递增，

当时， ， 单调递减，

所以当时， 有极大值，也为最大值，且

又，所以∴,可知，所以的最小值为1.