题目内容

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+ $数学公式$ ）a_n+ $数学公式$ ．
（1）设b_n= $数学公式$ ，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

解：（1）由已知得b₁=a₁=1，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
即b_n+1=b_n+ $\text{[math]}$ ，从而b₂=b₁+ $\text{[math]}$ ，
b₃=b₂+ $\text{[math]}$ ，
b_n=b_n-1+ $\text{[math]}$ （n≥2）．
于是b_n=b₁+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ （n≥2）．
又b₁=1，
故所求的通项公式为b_n=2- $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）知a_n=2n- $\text{[math]}$ ，
故S_n=（2+4++2n）-（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ），
设T_n=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，①
$\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，②
①-②得，
$\text{[math]}$ T_n=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴T_n=4- $\text{[math]}$ ．
∴S_n=n（n+1）+ $\text{[math]}$ -4．
分析：（1）由已知得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，即b_n+1=b_n+ $\text{[math]}$ ，由此能够推导出所求的通项公式．
（2）由题设知a_n=2n- $\text{[math]}$ ，故S_n=（2+4+…+2n）-（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ），设T_n=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，由错位相减法能求出T_n=4- $\text{[math]}$ ．从而导出数列{a_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．