Question

已知在平面直角坐标系xOy中，△AOB三个顶点的直角坐标分别为A（4，3），O（0，0），B（b，0）．
（1）若b=5，求cos2A的值；
（2）若△AOB为锐角三角形，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一：由题意义可得，要求cos2A，可先求 cosA，而A可以看成与的夹角，代入向量夹角公式
，然后利用二倍角公式可求cos2A
（法二）由题可得A=B，cos2A=cos（∠A+∠B）=cos（π-∠AOB），利用诱导公式进行化简可求
（2）由△AOB为锐角三角形可得A，B，O都为锐角，由∠A为锐角可得，
由∠B为锐角可得，由∠O为锐角可得，，代入整理即可求
解答：解：（1），，
若b=5，则
所以，
所以，
（法二）cos2A=cos（∠A+∠B）=cos（π-∠AOB）=
（2）若∠A为锐角，则，即-4b+16+9＞0，得
若∠B为锐角，则，即-b（4-b）＞0，得b＜0或b＞4
若∠O为锐角，则，即4b＞0，得b＞0综上所述，
【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．
点评：本题主要考查了向量夹角公式的应用，二倍角公式的运用，向量的数量积的符号在判断角的范围中的应用．