Question

（本题满分14分）

已知是函数的一个极值点，且函数的图象在处的切线的斜率为2.

（Ⅰ）求函数的解析式并求单调区间.（5分）

（Ⅱ）设，其中，问：对于任意的,方程在区间上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数.若不存在，请说明理由.（9分）

 

Answer 1

【答案】

（I），单调增区间是，单调减区间是；

（Ⅱ）对于任意的,方程在区间上均有实数根且当时,有唯一的实数解；当时,有两个实数解。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由x=0是函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一个极值点，f^′（0）=0，得到关于a，b的一个方程，函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为2e²，f^′（2）=2e²；得到一个关于a，b的一个方程，解方程组求出a，b即可；

（Ⅱ）把求得的f′（x）代入g（x），方程g（x）=（m-1）²在区间（-2，m）上是否存在实数根，转化为求函数g（x）在区间（-2，m）上的单调性、极值、最值问题．

解：（I）………………1分

由……………………2分

又，故………3分

令得或

令得………………4分

故，单调增区间是，单调减区间是……5分.

（Ⅱ）解:假设方程在区间上存在实数根

设是方程的实根，,………………6分

 令,从而问题转化为证明方程=0

在上有实根,并讨论解的个数……………………7分

因为，,

所以 ①当时,,所以在上有解,且只有一解.…………………………9分

②当时,,但由于,

所以在上有解,且有两解 ……………………………10分

③当时,,所以在上有且只有一解；

当时,,

所以在上也有且只有一解…………………………………12分

综上, 对于任意的,方程在区间上均有实数根且当时,有唯一的实数解；当时,有两个实数解……14分

考点：本试题主要考查了函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，求函数f（x）的解析式体现了方程的思想；方程根的个数问题转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，再求函数最值中，又用到了分类讨论的思想；属难题

点评：解决该试题的关键是方程根的个数问题转化为求函数的最值问题，并能利用导数的几何意义求解切线方程问题。