题目内容

已知关于x的函数f（x）=x²+2ax+b（其中a，b∈R）．
（1）求函数|f（x）|的单调区间；
（2）对于一切a∈[0，1]，若存在实数m，使得 $数学公式$ 与 $数学公式$ 能同时成立，求b-a的取值范围．

解：（1）∵f（x）=x²+2ax+b=（x+a）²+a²-b
∴①当a²-b≥0时，单调区间为：（-∞，-a]上为减，[-a，+∞）上为增；（2分）
②当a²-b＜0时，单调区间为： $\text{[math]}$ 减，
$\text{[math]}$ 增， $\text{[math]}$ 减， $\text{[math]}$ 增（5分）
（2）①当 $\text{[math]}$ 时，由方程 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
此时 $\text{[math]}$ ，此时不满足存在实数m，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 能同时成立．（8分）
②当 $\text{[math]}$ 时，由方程 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
此时 $\text{[math]}$ ，满足存在实数m，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 能同时成立．（11分），此时有 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ 对一切a∈[0，1]都成立，由此解得b-a∈[- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ]
③当 $\text{[math]}$ 时，对一切a∈[0，1]，都不存在实数m，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 能同时成立．
综上得b-a∈[- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ]（16分）
分析：（1）f（x）=（x+a）²+a²-b开口向上，但a²-b的正负不定，所以在取绝对值时要分类讨论．在每一种情况下分别求|f（x）|的单调区间．
（2）存在实数m，使得 $\text{[math]}$ 同时成立，即为两变量对应的函数值都小于等于 $\text{[math]}$ 的两变量之间间隔不超过1，故须对a²-b和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小分情况讨论，求出a²-b的取值范围，进而求得b-a的取值范围．
点评：点评：本题考查了数学上的分类讨论思想．分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．