Question

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极大值之和为（　　）

A． eπ(1-e1006π) 1-eπ	B． eπ(1-e2012π) 1-e2π
C． eπ(1-e1006π) 1-e2π	D． eπ(1-e2012π) 1-eπ

Answer 1

∵函数f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）=e^x（sinx-cosx）递减，
故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，
其极大值为f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e^2kπ+π×（0-（-1））
=e^2kπ+π，
又0≤x≤2012π，
∴函数f（x）的各极大值之和S=e^π+e^3π+e^5π+…+e^2011π
=

eπ(1-(e2π)1006)

1-e2π

=

eπ(1-e2012π)

1-e2π

．
故选B．