Question

如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4，
（Ⅰ）证明PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线AQ与PB所成的角；
（Ⅲ）求点P到平面QAD的距离。

Answer 1

解：（Ⅰ）连结AC、BD，设AC∩BD=O， 由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥， 所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD， 从而P、O、Q三点在一条直线上， 所以PQ⊥平面ABCD； （Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD， 由（Ⅰ），PQ⊥平面ABCD， 故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系（如右图）， 由题设条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1）， Q（0，0，-2），， 所以， 于是， 从而异面直线AQ与PB所成的角是； （Ⅲ）由（Ⅱ）， 点D的坐标是（0，，0）， ， 设是平面QAD的一个法向量， 由， 取x=1，得，　 所以点P到平面QAD的距离 。