题目内容
设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f′(x)的最小值为-12.(1)求a、b、c的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在［-1,3］上的最大值和最小值.
解:(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,c=0.∵f′(x)=3ax2+b的最小值为-12,
∴b=-12.又直线x-6y-7=0的斜率为
,因此f′(1)=3a+b=-6.故a=2,b=-12,c=0.
(2)f(x)=2x3-12x.f′(x)=6x2-12=6(x+
)(x-
),列表如下:
x | (-∞,- | - | (- |
| ( |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
)
,
)
,+∞)所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-
),(
,+∞).
因为f(-1)=10,f(3)=18,f(
)=-8
,所以当x=
时,f(x)取得最小值为-8
;
当x=3时,f(x)取得最大值为18.
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