Question

过定点P（0，1），且与抛物线y²=2x只有一个公共点的直线方程为________．

Answer 1

y=1，或 x=0，或 x-2y+2=0
分析：设直线l的斜率等于k，则当 k=0时，直线l与陪我想的对称轴平行，所以此时直线与抛物线只有有关公共点．再讨论直线与抛物线相切的情况，注意要分斜率存在于斜率不存在两种情况讨论．
解答：①设直线l的斜率等于k，则当 k=0时，直线l的方程为 y=1，满足直线与抛物线y²=2x仅有一个公共点，
当k≠0时，直线l是抛物线的切线，设直线l的方程为 y=kx+1，
代入抛物线的方程可得：
k²x²+（2k-2）x+1=0，根据判别式等于0，求得 k=，故切线方程为 y=x+1．
②当斜率不存在时，直线方程为x=0，经过检验可得此时直线也与抛物线y²=2x相切．
故答案为：y=1，或 x=0，或 x-2y+2=0．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握只有一个公共点的概念，即直线与抛物线相切或者直线与抛物线的对称轴平行．