Question

（2007•武汉模拟）（文）一过定点P（0，1）的直线l 截圆C：（x-1）²+y²=4所得弦长为2

2

，则直线l 的倾斜角α为

π

4

．

Answer 1

分析：若直线l的斜率不存在，不合题意，故直线l的斜率存在，设为k，由直线l过定点P，由P和设出的斜率k，表示出直线l的方程，再根据垂径定理，由弦的一半及半径求出弦心距的长，同时由圆的方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，使d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线l的斜率，由直线斜率与倾斜角的关系，得到tanα的值，根据倾斜角α的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α的度数．

解答：解：显然直线l的斜率存在，故设直线l的斜率为k，又直线l过P（0，1），
∴直线l的方程为：y-1=kx，即kx-y+1=0，
由圆的方程得到圆心坐标为（1，0），半径r=2，又弦长m=2

2

，
∴圆心到直线的距离为

r2-( m 2 )2

=

2

，
又圆心到直线l的距离d=

|k+1|

k2+1

=

2

，解得k=1，
∴tanα=k=1，又α∈（0，π），
则直线l的倾斜角α=

π

4

．
故答案为：

π

4

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线的斜截式方程，以及直线斜率与倾斜角的关系，涉及的知识有：垂径定理，点到直线的距离公式，以及特殊角的三角函数值，其中根据垂径定理求出弦心距，同时表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关于k的方程是解本题的关键．