Question

（2012•丰台区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且经过点M（-2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设y_P，y_Q分别为点P，Q的纵坐标，且

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

．求证：直线l过定点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且经过点M（-2，0），可求椭圆的几何量，从而可求
椭圆方程；
（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，利用 

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

，及韦达定理，可得y=kx-k，故直线l过定点．

解答：（Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且经过点M（-2，0）．
∴a=2，

c

a

=

2

2

，∴c=

2

．                        …（2分）
∵a²=b²+c²，∴b=

2

．                            …（3分）
椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．                                      …（5分）
（Ⅱ）证明：

x2+2y2=4 y=kx+m

消y得  （2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，△＞0．             …（6分）
因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-4

2k2+1

．          …（7分）
设直线MA：y=

y1

x1+2

(x+2)，则yP=

6y1

x1+2

；同理yQ=

6y2

x2+2

…（9分）
因为 

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

，所以 

6

6y1

+

6

6y2

=

x1+2

6y1

+

x2+2

6y2

，即

x1-4

6y1

+

x2-4

6y2

=0．     …（10分）
所以 （x₁-4）y₂+（x₂-4）y₁=0，
所以 （x₁-4）（kx₂+m）+（x₂-4）（kx₁+m）=0，2kx₁x₂+m（x₁+x₂）-4k（x₁+x₂）-8m=0，所以2k

2m2-4

2k2+1

+m(-

4km

2k2+1

)-4k(-

4km

2k2+1

)-8m=0，
所以 

-8k-8m

2k2+1

=0，得 m=-k．                           …（13分）
则y=kx-k，故l过定点（1，0）．                              …（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点，正确运用韦达定理是关键．