Question

如图，轴截面为边长是2的正方形的圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．∠AOC=60°
（1）求三棱柱AOC-A₁O₁C₁的体积；
（2）证明：平面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）求得S_△AOC，利用棱柱的体积公式计算即可；
（2）可先证得BC⊥面AA₁C₁C，再利用面面垂直的判定定理即可证得．

解答：解：（1）由题意知AO=OC=1，又∠AOC=60°，
∴S_△AOC=

1

2

•AO•OC•sin60°=

3

4

，
又三棱柱AOC-A₁O₁C₁的高h=AA₁=2，设三棱柱AOC-A₁O₁C₁的体积为V，
则V=S_△AOC•AA₁=

3

4

•2=

3

2

；
（2）∵AA₁⊥BC，AC⊥BC，
∴BC⊥面AA₁C₁C，
又BC?平面BB₁C₁C，
∴面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查棱柱的体积，突出考查分析与证明的能力，属于中档题．