题目内容
如图，已知AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，CO交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，求证：AB•CD=AC•AE．
分析：连接AD．要证AB•CD=AC•AE，即证
=
．由△ACD∽△DCE，可得
=
；由△AED∽△BEA，可得
=
．
=
．即可得出AB•CD=AC•AE．
| AC |
| CD |
| AB |
| AE |
| AC |
| CD |
| AD |
| DE |
| AD |
| DE |
| AB |
| AE |
| AB |
| AE |
| AC |
| CD |
解答：证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BE．
∵AC是⊙O的切线，
∴∠EAD=∠B．
∵BO=DO，
∴∠B=∠ODB=∠EDC，
∴∠EAD=∠EDC．
又∠C=∠C，∴△ACD∽△DCE，
∴
=
；
在Rt△AEB中，AD⊥BE，∠EAD=∠B，
∴△AED∽△BEA，
∴
=
，
∴
=
．
∴AB•CD=AC•AE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BE．
∵AC是⊙O的切线，
∴∠EAD=∠B．
∵BO=DO，
∴∠B=∠ODB=∠EDC，
∴∠EAD=∠EDC．
又∠C=∠C，∴△ACD∽△DCE，
∴
| AC |
| CD |
| AD |
| DE |
在Rt△AEB中，AD⊥BE，∠EAD=∠B，
∴△AED∽△BEA，
∴
| AD |
| ED |
| AB |
| AE |
∴
| AB |
| AE |
| AC |
| CD |
∴AB•CD=AC•AE．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据乘积的形式通常可以转化为比例的形式，本题可以通过两组相似三角形的性质得出的比例式综合应用即可证明．
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