Question

下列函数值中，最小值是2的是（　　）

• A．y=

  x

  8

  +

  8

  x

• B．y=

  1

  x2+2

  +

  x2+2

• C．y=tanx+cotx∈(0，

  π

  2

  )
• D．y=lg（x-10）+

  1

  lg(x-10)

  （x＞10且x≠11）

Answer 1

分析：对于A，当x＜0时，y＜0，故排除A．对于B，令

x2+2

=t，则 y=t+

1

t

 利用导数可得在[

2

，+∞）上是增函数，故函数y的最小值为

2

+

1

2

，故B不正确．利用基本不等式可得C正确，通过举反例可得D不正确．

解答：解：对于A，当x＜0时，y＜0，故排除A．
对于B，令

x2+2

=t，则 y=t+

1

t

，t≥

2

，则y′=1-

1

t2

＞0，
故函数y=t+

1

t

 在[

2

，+∞）上是增函数，故函数y的最小值为

2

+

1

2

=

3 2

2

，故B不正确．
对于C，∵x∈（0，

π

2

），故tanx＞0，∴y=tanx+cotx≥2，当且仅当tanx=1时，等号成立．
对于D，当 10＜x＜11时，lg（x-10）＜0，故y＜0，故D不正确，
故选C．

点评：本题主要考查了基本不等式，以及利用导数研究函数的单调性，注意利用基本不等式的条件，属于基础题．