Question

设a＞0，定点F（a，0），直线l：x=-a交x轴于点H，点B是l上的动点，过点B垂直于l的直线与线段BF的垂直平分线交于点M．
（I）求点M的轨迹C的方程；
（II）设直线BF与曲线C交于P，Q两点，证明：向量

HP

、

HQ

与

HF

的夹角相等．

Answer 1

分析：（I）连接MF根据题意可推断出|MF|=|MB|，进而根据抛物线的定义推知C的方程．
（II）设P，Q的坐标和直线BF的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理表示出x₁x₂，令

HP

与

HF

的夹角为θ₁，

HQ

与

HF

的夹角为θ₂，利用向量的数量积的运算可分别求得cosθ₁和cosθ₂的表达式，结果相等，根据θ₁和θ₂的范围，推断出二者相等．

解答：（I）解：连接MF，依题意有|MF|=|MB|，
所以动点M的轨迹是以F（a，0）为焦点，直线l：x=-a为准线的抛物线，
所以C的方程为y²=4ax．（5分）
（II）解：设P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
依题意直线BF的斜率存在且不为0，设直线BF的方程为y=k（x-a）（k≠0），
将其与C的方程联立，消去y得k²x²-2a（k²+2）x+a²k²=0
故x₁x₂=a²．
记向量

HP

与

HF

的夹角为θ₁，

HQ

与

HF

的夹角为θ₂，其中0＜θ₁，θ₂＜π，
因为

HP

=(x1+a，y1)，

HF

=(2a，0)，
所以cosθ1=

HP • HF

|HP| • |HF|

=

2ax1+2a2

2a (x1+a)2+ y 2 1

=

x1+a

x 2 1 +6ax1+a2

；
同理cosθ2=

x2+a

x 2 2 +6ax2+a2

=

a2 x1 +a

a4 x 2 1 +6 a3 x1 +a2

=

x1+a

x 2 1 +6ax1+a2

因为cosθ₁=cosθ₂，且0＜θ₁，θ₂＜π，
所以θ₁=θ₂，即

HP

、

HQ

与

HF

的夹角相等．

点评：本题主要考查了抛物线的定义，本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，向量的数量积的运算．考查了学生数形结合思想的运用和分析问题的能力．