Question

【题目】在平面直角坐标中，直线的参数方程为，(为参数).以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）若，试判断直线与曲线的位置关系；

（2）当时，直线与曲线的交点为，若点的极坐标为，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）直线与曲线相切（2）

【解析】

（1）先将曲线的极坐标方程及直线的参数方程化为普通方程，再由直线与圆的位置关系求解即可；

（2）先由直线的参数方程求出，再将点的极坐标化为直角坐标，然后结合点到直线的距离公式及三角形面积公式求解即可.

解：（1）.由得，所以，即.

故曲线是以为圆心，半径为2的圆.

由，

又且，

可得，，

从而.

所以直线的普通方程为.

圆心到直线的距离为，

所以直线与曲线相切.

（2）当时，将直线的参数方程，(为参数)代入曲线的方程得，整理得，

因此.

于是.

又点的极坐标为，所以其直角坐标为.

直线的直角坐标方程为，

因此点到直线的距离，

故的面积.