Question

【题目】在平面直角坐标系中，动圆经过点并且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．

（1）如果直线过点（0，4），且和曲线只有一个公共点，求直线的方程；

（2）已知不经过原点的直线与曲线相交于、两点，判断命题“如果，那么直线经过点”是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线的方程为、、；（2）见解析

【解析】

（1）根据抛物线的定义，求得曲线C的方程，之后分直线的斜率存在与不存在两种情况，根据直线与抛物线有一个公共点，得出结果；

（2）根据图形的对称性，得出对应的定点在x轴上，设出直线的方程，利用韦达定理，根据向量垂直向量的数量积等于零，求得对应的结果.

（1）根据题意，可知曲线C的方程为，

①直线的斜率不存在，即的方程为，符合题意，

②直线的斜率存在，设，

与抛物线方程联立得，

（ⅰ），符合题意，此时的方程为，

（ⅱ），则，解得，此时的方程为，

综上，符合题意的直线的方程为、、；

（2）由图形的对称性，若直线过定点，则该定点必定落在轴上，

设定点坐标为、、、，

，则，

∵，∴，即，

解得或（舍），

∴命题为真命题．