题目内容
设0＜θ＜
，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．
【答案】分析：（I）联立方程，组成方程组，有4个不同交点等价于x2＞0，且y2＞0，即可求θ的取值范围；
（Ⅱ）确定圆的圆心在原点，半径为
，从而可求圆半径的取值范围．
解答：（I）解：两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组
即
有4个不同交点等价于x2＞0，且y2＞0，即
又因为
，所以得θ的取值范围为（0，
．
（II）证明：由（I）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程
，
即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为
．
因为cosθ在
上是减函数，所以由
，
知r的取值范围是
．
点评：本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．
（Ⅱ）确定圆的圆心在原点，半径为
，从而可求圆半径的取值范围．解答：（I）解：两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组
即有4个不同交点等价于x2＞0，且y2＞0，即
又因为
，所以得θ的取值范围为（0，．（II）证明：由（I）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程
，即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为
．因为cosθ在
上是减函数，所以由，知r的取值范围是
．点评：本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．
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