题目内容
已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，若函数y=f（x）-m有三个不同的零点，求m的取值范围；
（3）设定义在D上的函数y=h（x）在点p（x，h（x））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x时，若
在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，请你探究当a=4时，函数y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）f′（x）=2x-（a+2）+
=
，由f′（x）＞0能求出f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，f（x）=x2-6x+4lnx，f′（x）=2x+
-6，其中x＞0，由f′（x）=0求出极值点，把函数y=f（x）-m有三个不同的零点转化为函数y=f（x）的图象与直线y=m的交点问题解决；
（3）当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x，f（x））处的切线方程为y=m（x）=
．由此能推导出y=f（x）存在“类对称点”，
是一个“类对称点”的横坐标．
解答：解：（1）∵f（x）=x2-（a+2）x+alnx，
∴f′（x）=2x-（a+2）
=
，其中x＞0，
令f'（x）=0，得x=1或x=
．
∵a＞2，∴
＞1．
当0＜x＜1及x＞
时，f'（x）＞0；
当1＜x＜
时，f'（x）＜0；
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（
，+∞）．
（2）当a=4时，f（x）=x2-6x+4lnx，f′（x）=2x+
-6=
=
，其中x＞0，
当x∈（0，1），（2，+∞）时，f′（x）＞0．
当x∈（1，2）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在x∈（0，1），（2，+∞）时为增函数，
在x∈（1，2）时为减函数．
∴f（x）的极大值为f（1）=-5，极小值为f（2）=4ln2-8．
要使函数y=f（x）-m有三个不同的零点，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有三个不同交点，
如图，则m的取值范围是（4ln2-8，-5）．
（3）由（2）知，当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x，f（x））处的切线方程为：
y=m（x）=
，
设φ（x）=f（x）-m（x）=
，
则φ（x）=0．
ϕ′（x）=2x+
-6-（2x+
-6）=2（x-x）（1-
）=
（x-x）（x-
）
若x＜
，φ（x）在（x，
）上单调递减，
∴当x∈（x，
）时，φ（x）＜φ（x）=0，此时
＜0；
若
，φ（x）在（
，x）上单调递减，
∴当x∈（
，x）时，φ（x）＞φ（x）=0，此时
＜0．
∴y=f（x）在（0，
）∪（
，+∞）上不存在“类对称点”．
若
，
＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x时，φ（x）＞φ（x）=0，
当x＜x时，φ（x）＜φ（x）=0，故
＞0．
即此时点P是y=f（x）的“类对称点”
综上，y=f（x）存在“类对称点”，
是一个“类对称点”的横坐标．
点评：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．
=，由f′（x）＞0能求出f（x）的单调递增区间；（2）当a=4时，f（x）=x2-6x+4lnx，f′（x）=2x+
-6，其中x＞0，由f′（x）=0求出极值点，把函数y=f（x）-m有三个不同的零点转化为函数y=f（x）的图象与直线y=m的交点问题解决；（3）当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x，f（x））处的切线方程为y=m（x）=
．由此能推导出y=f（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．解答：解：（1）∵f（x）=x2-（a+2）x+alnx，
∴f′（x）=2x-（a+2）
=，其中x＞0，令f'（x）=0，得x=1或x=
．∵a＞2，∴
＞1．当0＜x＜1及x＞
时，f'（x）＞0；当1＜x＜
时，f'（x）＜0；∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（
，+∞）．（2）当a=4时，f（x）=x2-6x+4lnx，f′（x）=2x+
-6==，其中x＞0，当x∈（0，1），（2，+∞）时，f′（x）＞0．
当x∈（1，2）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在x∈（0，1），（2，+∞）时为增函数，
在x∈（1，2）时为减函数．
∴f（x）的极大值为f（1）=-5，极小值为f（2）=4ln2-8．
要使函数y=f（x）-m有三个不同的零点，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有三个不同交点，
如图，则m的取值范围是（4ln2-8，-5）．
（3）由（2）知，当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x，f（x））处的切线方程为：
y=m（x）=
，设φ（x）=f（x）-m（x）=
，则φ（x）=0．
ϕ′（x）=2x+
-6-（2x+-6）=2（x-x）（1-）=（x-x）（x-）若x＜
，φ（x）在（x，）上单调递减，∴当x∈（x，
）时，φ（x）＜φ（x）=0，此时＜0；若
，φ（x）在（，x）上单调递减，∴当x∈（
，x）时，φ（x）＞φ（x）=0，此时＜0．∴y=f（x）在（0，
）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．若
，＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x时，φ（x）＞φ（x）=0，
当x＜x时，φ（x）＜φ（x）=0，故
＞0．即此时点P是y=f（x）的“类对称点”
综上，y=f（x）存在“类对称点”，
是一个“类对称点”的横坐标．点评：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|