Question

【题目】在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，如图建立空间直角坐标系．

（1）求证：B1C∥平面ODC1；
（2）求异面直线B1C与OD夹角的余弦值；
（3）求直线B1C到平面ODC1的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设平面ODC1的一个法向量为 ，

由 得 ，令y=1，则z=﹣1，x=1

所以 ．

又 ．从而

所以B1C∥平面ODC1

（2）解：设 、 分别为直线B1C与OD的方向向量，

则由 ， 得cos＜ ， ＞= ．

所以两异面直线B1C与OD的夹角θ的余弦值为

（3）由（1）知平面ODC1的一个法向量为 ，

又

所以B1C到平面ODC1的距离

【解析】（1）求出平面ODC1的一个法向量，证明 ，即可证明：B1C∥平面ODC1；（2）设 、 分别为直线B1C与OD的方向向量，则由 ， 得cos＜ ， ＞，即可求异面直线B1C与OD夹角的余弦值；（3）B1C到平面ODC1的距离 ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用异面直线及其所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．