Question

【题目】已知两个不共线的向量，夹角为，且，，为正实数．

（1）若与垂直，求的值；

（2）若，求的最小值及对应的x的值，并指出此时向量与的位置关系．

（3）若为锐角，对于正实数m，关于x的方程两个不同的正实数解，且，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，的最小值为，垂直；（3）时，，时，，

时，.

【解析】

（1）根据垂直关系计算得到，再根据向量夹角公式得到答案.

（2）计算，根据二次函数性质得到最值，计算得到位置关系.

（3）根据题意平方得到二次方程，根据根与系数关系得到范围，讨论和，三种情况，计算得到答案.

（1），故，

故，故.

（2），

当时，最小为，故的最小值为，

此时，故向量与垂直.

（3），即，展开整理得到，

故，且，解得.

取得到，即，

当，即，即时，；

当，即且，即时，

；

当，即，即时，.

综上所述：时，，时，，

时，.