Question

【题目】已知正项数列的前项和为，且．数列满足，为数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）利用与的关系作差可知数列为等差数列与公差，即可求得通项公式；

（2）由（1）表示数列的通项公式，由裂项相消法求和即可；

（3）分类讨论为偶数与奇数时转化不等式，再由基本不等式与函数的单调性求最值，最后由不等式恒成立问题转化求参数取值范围即可．

解：（1）当时，；

当时，因为，，所以，

两式相减得，

所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以．

（2）由题意和（1）得：，

所以数列前项和．

（3）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即不等式恒成立，即需不等式恒成立．

∵，等号在时取得．

此时需满足．

②当为奇数时，要使不等式恒成立，即不等式恒成立，即需不等式恒成立．

∵是随的增大而增大，

∴时，取得最小值．

此时需满足．

综合①、②可得的取值范围是．