Question

【题目】已知函数f(x)＝x3＋x2＋x(0<a<1，x∈R)．若对于任意的三个实数x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解 因为f′(x)＝x2＋x＋＝ (x＋a－2)，所以令f′(x)＝0，

解得x1＝，x2＝2－a.

由0<a<1，知1<2－a<2.

所以令f′(x)>0，得x<，或x>2－a；

令f′(x)<0，得<x<2－a，

所以函数f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增．

所以函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2－a)＝ (2－a)2，最大值为max{f(1)，f(2)}＝max.

因为当0<a≤时，－≥a；

当<a<1时，a>－，

由对任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，得2f(x)min>f(x)max(x∈[1,2])．

所以当0<a≤时，必有2× (2－a)2>－，

结合0<a≤可解得1－<a≤；

当<a<1时，必有2× (2－a)2>a，

结合<a<1可解得<a<2－.

综上，知所求实数a的取值范围是1－<a<2－.